I. ПРОГРАММА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ В РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НА ДОЛГОСРОЧНЫЙ ПЕРИОД (2021 - 2030 ГОДЫ) | ПАСПОРТ Программы фундаментальных научных исследований в РФ на долгосрочный период (2021 - 2030 годы)

Направления науки: 1.1. Математика;
1.2. Прикладная математика и информатика

Основные научные задачи и ожидаемые прорывные результаты
до 2030 года

Решение научных задач, возникающих в актуальных областях современной математики, а также на стыке этих областей, откроет принципиально новые возможности для получения прорывных научных результатов.

В математической логике выделяются теория множеств, теория моделей, теория алгоритмов (включающая одну из так называемых "задач тысячелетия"), теория вычислительной сложности, а также теория доказательств. Актуальным является новое направление - гомотопическая теория типов и структурная теория доказательств, тесно связанная с теорией вычислимости и функциональными языками программирования. Полученные результаты найдут применение в биологии и физике, в том числе в квантовых вычислениях и ДНК-вычислениях. Перспективным приложением логики к информатике является модальная логика. Значительную область приложений существующих методов математической логики предоставит теория баз данных.

Основными разделами теории чисел являются теория диофантовых уравнений, а также аналитическая и алгебраическая теория чисел, в которых исследования направлены на развитие криптографии и теории кодирования.

Развитие алгебры остается важнейшей научной задачей современной математики. Среди основных разделов алгебры следует отметить теорию групп, теорию колец и теорию алгебр, теорию категорий и гомологическую алгебру, а также вычислительную алгебру. Самостоятельную область представляет теория групп и алгебр Ли, а также их представлений и инвариантов. Понятия и методы этой теории возникают при описании сильных и слабых взаимодействий в стандартной модели физики элементарных частиц, в квантовой механике и теории поля, теории струн, в общей теории относительности. Перспективу применения в различных областях математики и физики имеют методы алгебраической геометрии.

Важнейшими разделами современной геометрии являются дифференциальная геометрия, риманова, метрическая и симплектическая геометрии, отдельно выделяется топология и теория узлов. Все они находят различные применения в физике.

Математический анализ охватывает разделы дифференциального и интегрального исчислений, теории функций и функциональный анализ, анализ на многообразиях. Современной задачей в разделе математического анализа является развитие теории приближений, связанное с потребностями биологии, медицины и техники, проблемами обработки и хранения больших данных. Методы функционального анализа и выпуклой геометрии будут востребованными в прикладных задачах оптимизации различных поисковых и обучающих процессов, связанных с информационно-телекоммуникационной сетью "Интернет". Востребованы перспективные приложения бесконечномерного анализа к вопросам экономики, задачам оптимального распределения ресурсов и управления транспортными потоками.

Дифференциальные уравнения необходимы в моделировании всех физических, технических или биологических процессов от небесных движений до проектирования мостов и взаимодействия между нейронами. Центральной проблемой данной области остается задача глобального существования гладких решений трехмерной системы Навье-Стокса, которая описывает движение вязкой ньютоновской жидкости и является основой гидродинамики. Она также является одной из "задач тысячелетия".

Актуальными направлениями исследований в теории вероятностей и математической статистике являются получение новых знаний в теории случайных процессов, теории случайных матриц, некоммутативной теории вероятностей и ее приложения к квантовой статистике и информатике.

Важнейшими в математической физике являются задачи теоретической механики, динамики жидкости, газа и плазмы, а также математические задачи теории упругости и электродинамики.

Фундаментальным направлением является динамика классических и квантовых сложных систем. Центральные проблемы в этой области связаны с построением и исследованием решений уравнения Ньютона или уравнения Шредингера для системы многих частиц, развитием теории геометрического квантования классических фазовых многообразий и динамических систем, исследованием свойств квантово-полевых моделей, а также задачами теории гравитации. Важным направлением является развитие теории Янга-Миллса.

В настоящее время активно развивается область квантовых технологий - технологий, в основе которых лежит использование квантовых систем и их свойств. Существующие и перспективные направления квантовых технологий включают управление квантовыми системами, квантовую криптографию, квантовую теорию информации, квантовые вычисления. Развитие этой области требует разработки соответствующих математических методов и решения связанных задач в теории открытых квантовых систем, интегрируемых систем и т.п.

Актуальными научными задачами вычислительной математики являются обратные и некорректно поставленные задачи, развитие методов тензорных и разреженных аппроксимаций, методов статистического моделирования и анализа данных, методов оптимизации и управления, численных методов и гибридных технологий для широкого круга задач математического моделирования, где необходимо решать дифференциальные, интегральные, функциональные и другие уравнения. К новым задачам и развитию данного направления относятся применение алгоритмов на высокопроизводительных вычислительных системах, внедрение современных методов анализа данных, методов машинного обучения и искусственного интеллекта.

Перспективным направлением в развитии математического моделирования является моделирование сложных явлений и процессов в физике, химии, биологии (в том числе в физике элементарных частиц, физике плазмы, квантовой химии, при прямом расчете турбулентных течений, процессов горения, молекулярной динамики). Применение математического моделирования актуально в медицине и сельском хозяйстве, при изучении экономических и социальных процессов, задач государственного и корпоративного управления, разработке новых промышленных технологий, в аэрокосмической индустрии, энергетике (в том числе атомной), а также при добыче и разведке природных ресурсов, в создании отечественной элементной базы, в робототехнике. К сверхактуальным задачам математического моделирования относятся изучение среды обитания, включая районы Крайнего Севера, моделирование атмосферы и океана, изучение климата.

Применение высокопроизводительных вычислений окажет большое влияние на развитие фундаментальных наук (физики, химии, биологии, медицины и др.), аэрокосмической индустрии, энергетики, промышленности и многих других сфер деятельности. Создание вычислительных алгоритмов и прикладного математического обеспечения, позволяющего эффективно использовать вычислительные системы с производительностью выше 10 экзафлопс, - основная задача этого направления. Вычислительные системы субэкзафлопсной производительности найдут применение в области предсказательного моделирования во всех сферах хозяйственной деятельности.

Важнейшими задачами теоретической информатики и дискретной математики являются исследования в области искусственного интеллекта, а также создание и внедрение новых методов и алгоритмов для обработки и анализа, основанного как на больших, так и на малых наборах данных. К перспективным направлениям относятся анализ временных рядов, сигналов, изображений и видеоданных, а также анализ текстов и символьных последовательностей. Актуальными остаются исследования в области дискретного анализа, комбинаторики, теории графов, дискретной оптимизации, теории сложности кодирования, сжатия, защиты и передачи информации.

Задачами мирового уровня в области системного программирования являются создание и развитие базового программного обеспечения, в частности операционных систем и систем управления базами данных, а также методов и технологий для проектирования, разработки, сопровождения и анализа программ, информационно-коммуникационных систем и программно-аппаратных комплексов и совершенствование существующих и создание новых видов системного и инфраструктурного программного обеспечения.

Новые виды приложений (интернет вещей), облачные среды, новые механизмы и парадигмы создания программного обеспечения (искусственный интеллект, глубокая верификация программ, языки безопасного программирования), существенное усложнение аппаратуры и высокая степень интеграции функций базового уровня программного обеспечения и аппаратуры предъявляют новые вызовы в развитии системного программирования. В ближайшие десятилетия в связи с переходом к цифровой экономике ставятся задачи в области построения информационно-вычислительных систем и сред. Необходимо развитие математических методов для эффективного управления системами реального времени, распределенными вычислительными средами, в частности на основе технологий распределенного реестра.

Основными задачами являются развитие теории и создание методов моделирования и верификации программных и программно-аппаратных систем на основе перспективных подходов, включая методы искусственного интеллекта, развитие и разработка новых объяснимых (интерпретируемых) методов искусственного интеллекта, разработка перспективных методов представления знаний и данных, в том числе развитие теоретико-множественных, функциональных и онтологических подходов к описаниям предметных областей и их информационному моделированию, разработка методов представления данных в низкоразмерных пространствах, включая модели векторного представления.

Критически важна роль базового программного обеспечения и технологий создания и анализа программных систем в обеспечении кибербезопасности и технологической независимости нашей страны, что выдвигает возрастающие требования к исследованиям и разработкам в области системного программирования.

Перечень приоритетных направлений фундаментальных
и поисковых научных исследований